在线工具 · 经典控制 vs 最优控制
倒立摆平衡器 · PID vs LQR
同一台小车倒立摆，左边 PID 右边 LQR：戳一下摆杆、推一下小车，对比两种控制器的恢复过程。拖动 LQR 权重滑杆，最优增益实时重解。
对比场 · 左 PID / 右 LQR（互不相扰）
实时指标
倒下次数 0机体（双方共享）
PID 参数
角度环：摆杆一歪就往歪的方向开车（追着接）。
角度阻尼：抑制摆杆甩过头。
位置环：把小车拉回轨道中央，否则会越漂越远。
消除稳态位置偏差（顶着斜坡/恒力时才看得出来）。
LQR 权重（拖动重解）
越大越强调小车回中，代价是摆杆晃动更多。
越大越强调摆杆竖直，最直观的一个滑杆。
越大则控制力代价越高：出力更小，恢复更慢。
K = [-1.9, -3.2, -39.4, -8.8]
PID 和 LQR 差在哪？
PID — PID：手工设计——「误差乘增益求和」。直观、逐个调、无需模型；但四个状态耦合的系统（小车+摆杆）里，PID 得拆成级联小心翼翼地调，顾此失彼是常态。
LQR — LQR：数学一次性解出——「给定状态权重 Q 和控制代价 R，最优增益 K 是解出来的，不是调出来的」。只要给线性模型，Riccati 方程直接给出全状态最优反馈，耦合问题自动处理。
什么时候用哪个：电机速度环、温度控制这类单变量系统 PID 依然无敌；机器人全身控制、多关节协调、有明确性能指标可写的地方 LQR/现代最优控制更强。实际工程常常底层 PID 上层 LQR。
怎么玩？
- 先戳几下摆杆：PID 版会用小幅来回修正稳住（可能小车漂得远），LQR 版通常一次规划好小车移动，姿态恢复更快。
- 把 R 拉大：LQR 出力变小，恢复变慢、摆杆晃得更久——最优控制里的「代价」是真实代价。
- 把 Q·θ 拉满、Q·x 归零：LQR 只顾摆杆竖直、不管小车漂哪去——这就是「只管摆杆」预设。
- 暴躁 PID 预设：增益拉满后摆杆持续大幅摆动、小车来回冲撞轨道两端——增益不是越大越好。
倒立摆为什么是控制理论的试金石？
它天生不稳定（摆杆一歪重力只会让它更歪）、欠驱动（一个电机管两个自由度）、非线性（角度大了动力学完全变样）。Segway 平衡车、火箭回收姿控、双足机器人行走平衡，本质都是倒立摆。1954 年麻省理工用模拟计算机控制它，成为现代控制理论走向工程的第一批验证平台。
LQR 的 K 是怎么算出来的？（30 秒版）
线性化得到 ẋ = A·x + B·u；最小化 J = ∫(xᵀQx + uᵀRu)dt；最优解是 u = −K·x，K = R⁻¹BᵀP，其中 P 是代数 Riccati 方程 AᵀP + PA − PBR⁻¹BᵀP + Q = 0 的解。本工具在你拖滑杆时实时迭代解离散 Riccati——拖动时底部显示的 K 向量就是它吐出来的。